Сегодня я хочу написать о тесте на нормальность. Многочисленные финансовые теории и их приложения построены на допущении о логнормальности распределения цен и нормальности распределения приростов. Кроме того это просто довльно интересно узнать – насколько там все нормально. Здесь в качестве материала я использую приросты цены Газпрома, так как априори теория нам говорит, что они должны быть таковы. Данные РТС для периода с начала 2007 по настоящий момент:
Перейдем к приростам.
Рассчитанные показатели для приростов: среднее -0.000673447, медиана -0.000296255, стандартное отклонение 0.0424123.
Видно, что среднее и медиана близки к нулю в то время как стандартное отклонение сравнительно невелико.
Я хочу использовать три сравнительно качественных теста:
1. сравним нашу гисторамму с нормальным распределением с такими же параметрами;
2. сравним частоты нашего распределения с нормальным;
3. проведем в SPSS тест Колмогорова-Смирнова.
Посмотрим на гистограмму и наложенную на не плотность вероятности нормального распределениями со средним и разбросом нашего ряда в точках соответствющих значениям приростов:
На первый взгляд наши опасения подтверждаются – теория верна! Обратимся ко второму способу.
Сравним частоты нашего распределения с нормальным. Для этого посроим ряд точек с координатами {xi,yi}, где
xi – это i-ое значение прироста;
yi – определяется в два шага:
иначе говоря ищем значение накопленной частоты;
где Ф обратная функция нормального распределения, знакомая любителям Excel под именем НОРМ.ОБР. Получили следующую картинку:
Если бы распределение было правильным точки легли бы на бисектриссы первой и третьей четвертей. Мы видим картину качественно похожую на требуемую. За решающим словом обратимся к тесту Колмогорова-Смирнова.Легко проделать это упражнение в SPSS:
Analyze->Nonparametric tests->One sample K-S
Результат предсказуем:
В целом очевидно, что для нашей выборки теория делает правильные предположения: приросты оказались в среднем равны нулю, а разброс мал.На последок хочется показтать, что результаты верны, но для достаточно больших промежутков. На на графиках среднего и разброса для 10-и дневных периодов мы можем наблюдать все виды аномалий: тренды, кластера волатильности и прочее.
Среднее значение прироста за 10 дней:
Среднее значение разброса за 10 дней:
